Kurs Korepetycje z matematyki - funkcje

 Kurs Korepetycje z matematyki - funkcje

Naucz się rozwiązywać zadania z funkcji, które często pojawiają się na szkolnych kartkówkach, testach i maturze. Zrozum i utrwal swoją wiedzę na temat funkcji, dzięki korepetycjom online. ZOBACZ KURS

Kurs Korepetycje z matematyki - trygonometria i figury płaskie

 Kurs Korepetycje z matematyki - trygonometria i figury płaskie

Opanuj i utrwal wiedzę z geometrii, tak by żadne zadanie na sprawdzianie, maturze Cię nie zaskoczyło. Ucz się, rozwiązując typowe zadnia z trygonometrii i figur płaskich, które pojawiają na testach. ZOBACZ KURS

Kurs Matura z matematyki - równania i nierówności

 Kurs Matura z matematyki - równania i nierówności

Opanuj i utrwal materiał z równań i nierówności, tak by żadne zadanie na maturze Cię nie zaskoczyło. Ucz się rozwiązując typowe zadania pojawiające się w arkuszach maturalnych. ZOBACZ KURS

Kurs Matura z matematyki - liczby rzeczywiste

 Kurs Matura z matematyki - liczby rzeczywiste

Opanuj i utrwal wiedzę z zakresu liczb rzeczywistych, tak by żadne zadanie na maturze nie stanowiło dla Ciebie problemu. Ucz się rozwiązując typowe zadania pojawiające się w arkuszach maturalnych. ZOBACZ KURS 

Szybka powtórka do matury - MATEMATYKA podstawowa

Szybka powtórka do matury - MATEMATYKA podstawowa

Jakie działy powtórzysz w kursie:

Procenty
Potęgi i logarytmy
Funkcja liniowa i geometria analityczna
Funkcja kwadratowa
Ciągi liczbowe
Trygonometria
Geometria płaska (planimetria)
Stereometria
Statystyka i prawdopodobieństwo

ZOBACZ>>>

Kurs Statystyka eTrapez

Kurs Statystyka eTrapez

Na KURS STATYSTYKI składa się następujący materiał:

• wzory do statystyki opisowej
• wzory do estymacji przedziałowej
• wzory do parametrycznych testów istotności
• wzory do nieparametrycznych testów istotności
• wzory do analizy współzależności
• wzory do regresji
• wzory do szeregów dynamicznych
• tablice rozkładu normalnego
• tablice rozkładu t-Studenta
• tablice rozkładu chi-kwadrat

Lekcja 1: Statystyka opisowa

• wprowadzenie do statystyki, podział na statystykę opisową i matematyczną
• wprowadzenie do statystyki opisowej
• 7 zadań na miary średnie (średnie arytmetyczną, harmoniczną, geometryczną, dominantę, medianę, kwantyle)
• 2 zadania na miary rozproszenia (odchylenie stadnardowe, typowy obszar zmienności, empiryczny obszar zmienności, odchylenie przeciętne, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności klasyczny i pozycyjny)
• zadanie na miary asymetrii (wskaźnik i współczynnik asymetrii, standaryzowany moment centralny trzeciego rzędu)
• przykład na współczynnik koncentracji Lorentza
• przykład na koncentrację liczoną momentem standaryzowanym czwartego rzędu
• przykład na wszechstronną analizę zbiorowości
• 6 zadań na statystykę opisową (różne)

Lekcja 2: Przedziały ufności. Estymacja przedziałowe.

• wprowadzenie do wnioskowania statystycznego
• 3 zadania na estymację przedziałową dla średniej (w populacji o rozkładzie normalnym lub nie i małych lub dużych liczebnościach próbki)
• zadanie na estymację przedziałową dla wariancji
• zadanie na estymację przedziałową dla odsetka w populacji generalnej
• 3 zadania na minimalną liczebność próby

Lekcja 3: Parametryczne testy istotności

• ogólny schemat postępowania
• 2 zadania na testy istotności dla średniej
• 2 zadania na testy istotności przy porównywaniu średnich w dwóch populacjach
• zadanie na test istotności dla wariancji
• zadanie na test istotności przy porównywaniu dwóch wariancji
• 2 zadania na test istotności dla odsetków

Lekcja 4: Nieparametryczne testy istotności

• ogólny schemat postępowania
• 2 zadania na test zgodności Pearsona (zgodność z rozkładem normalnym i Poissona)
• zadanie na test serii losowości próby

Lekcja 5: Analiza współzależności

• możliwe rodzaje zależności między cechami (funkcyjna, stochastyczna, korelacyjna)
• analiza korelacyjna na tablicy korelacji
• zadanie na test niezależności chi-kwadrat
• zadanie na współczynnik Czuprowa
• zadanie na wskaźniki Pearsona
• zadanie na współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Lekcja 6: Regresja i linie regresji

• wprowadzenie do funkcji regresji
• 3 zadania na linię regresji
• wprowadzenie do korelacji i regresji wielu zmiennych
• zadanie na korelację cząstkową
• zadanie na korelację wieloraką
• zadanie na płaszczyznę regresji

Lekcja 7: Analiza dynamiki zjawisk

• wprowadzenie do szeregów dynamicznych (przyrosty, indeksy, średnia chronologiczna, średnie tempo zmian)
• zadanie na podstawowe charakterystyki szeregów dynamicznych
• 5 zadań na przeliczanie indeksów
• 3 zadania na indeksy cen, ilości i wartości
• zadanie na średnie ruchome w badaniu trendu
• 2 zadania na wyznaczanie linii trendu

ZOBACZ KURS>>>

Kurs Szeregi eTrapez

Kurs Szeregi eTrapez

Na KURS SZEREGÓW składa się następujący materiał:

wzory na szeregi liczbowe

wzory na szeregi funkcyjne

wzory na pochodne

wzory na całki

Lekcja 1: Zbieżność szeregu z definicji (suma szeregu)

pojęcie szeregu liczbowego

warunek konieczny zbieżności szeregu

wyznaczanie sumy szeregu z definicji - 5 przykładów (rozkład na ułamki proste, logarytm, szereg geometryczny)

Lekcja 2: Kryterium D’Alemberta i Cauchy’ego

pojęcie zbieżności szeregu liczbowego - wprowadzenie do kryteriów zbieżności

kryterium d'Alemberta

kryterium d'Alemberta - 7 przykładów

kryterium Cauchy'ego

kryterium Cauchy'ego - 3 przykłady

Lekcja 3: Kryterium porównawcze

kryterium porównawcze

szereg Dirichleta, harmoniczny i nierówności pomocne w kryterium porównawczym

10 przykładów na kryterium porównawcze

Lekcja 4: Kryterium całkowe

kryterium całkowe

kryterium całkowe - 3 przykłady

Lekcja 5: Warunek konieczny zbieżności szeregu

warunek konieczny zbieżności szeregu - przypomnienie

2 przykłady na wykorzystanie warunku koniecznego zbieżności do obliczenia granicy ciągu

Lekcja 6: Zbieżność bezwzględna szeregów. Kryterium Leibnitz’a.

pojęcie zbieżności bezwzględnej szeregu

2 przykłady na szeregi zbieżne bezwzględnie

kryterium Leibnitz'a (zbieżność warunkowa)

8 przykładów na zbieżność szeregów bezwzględną i warunkową

Lekcja 7: Szeregi funkcyjne. Wybrane elementy.

Ciąg funkcyjny. Zbieżność ciągu funkcyjnego.

Zbieżność jednostajna i punktowa ciągu funkcyjnego.

Szereg funkcyjny. Zbieżność szeregu funkcyjnego (punktowa i jednostajna).

kryterium Weierstrassa

3 przykłady na zastosowanie kryterium Weierstrassa

Szeregi potęgowa. Definicja. Własności (różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych).

Szereg geometryczny jako szczególny szereg potęgowy.

9 przykładów na sumę szeregów potęgowych wykorzystujących twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów i szereg geometryczny

2 przykłady na obliczenia przybliżone

Lekcja 8: Szeregi potęgowe (obszar zbieżności)

obszar i promień zbieżności szeregów potęgowych

10 przykładów na wyznaczanie obszaru zbieżności (w tym dodatkowo 2 na wyznaczenie sumy szeregu)

Lekcja 9: Szeregi Taylora i Maclaurina

wzory na szeregi Taylora i Maclaurina

reszta we wzorze Taylora i Maclaurina (postać Lagrange'a)

14 przykładów na rozwianie funkcji w szeregi Taylora i Maclaurina

4 przykłady na przybliżanie wartości funkcji

Lekcja 10: Szeregi Fouriera

wzór na szereg Fouriera

zbieżność szeregu Fouriera (warunki Dirichleta)

8 przykładów na rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera (każdy z wykresem)

ZOBACZ CAŁOŚĆ>>> Kurs Szeregi eTrapez 

Kurs Całki Wielokrotne eTrapez

Kurs Całki Wielokrotne eTrapez

Na KURS KURS CAŁEK WIELOKROTNYCH składa się następujący materiał:

- tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych

- wzory na pochodne

- wzory na całki nieoznaczone

- wzory na całki podwójne

- wzory na całki potrójne

- wzory na całki krzywoliniowe

- wzory na całki powierzchniowe

- wzory na elementy teorii pola

Lekcja 1: Całki podwójne.

sposób na obliczenie całki podwójnej – przejście na dwie całki oznaczone (“iterowane”)

3 zadania na obliczanie całki podwójnej po prostokącie

zadanie na obliczanie całki podwójnej w obszarze ograniczonym krzywymi

współrzędne biegunowe

zadanie na przejście na współrzędne biegunowe

zadanie na obliczanie całki podwójnej w obszarze będącym trójkątem

zadanie na obliczanie całki podwójnej w obszarze nie będącym obszarem normalnym

zadanie na obliczanie całki podwójne w obszarze normalnym względem osi OY

3 zadania na zamianę kolejności całkowania

7 zadań na obliczanie objętości bryły przy pomocy całki podwójnej

4 zadania na obliczanie pola obszaru przy pomocy całki podwójnej, w tym z zastosowaniem współrzędnych biegunowych

2 zadania na obliczanie pola powierzchnii w przestrzeni przy pomocy całki podwójnej

Lekcja 2: Całki potrójne.

intuicyjne wprowadzenie całki potrójnej jako następnej po oznaczonej i podwójnej

sposób na obliczenie całki potrójnej – przejście na trzy całki oznaczone

5 zadań na obliczanie całki potrójnej po różnych obszarach całkowania

współrzędne sferyczne i walcowe

5 zadania na obliczanie całki potrójnej z zastosowanie współrzędnych sferycznych lub walcowych

3 zadania na obliczanie objętości przy pomocy całki potrójnej

zadanie na obliczanie masy całką potrójną

interpretacje fizyczne całki potrójnej

zadanie na obliczanie środka ciężkości całką potrójną (początek)

Lekcja 3: Całki krzywoliniowe.

podział całek krzywoliniowych na skierowane i nieskierowane

całki krzywoliniowe skierowane, łuki w postaci parametrycznej, przejście na całkę oznaczoną

5 zadań na całkę krzywoliniową skierowaną po różnych krzywych

całki krzywoliniowe nieskierowane, przejście na całkę oznaczoną

3 zadania na całkę krzywoliniową nieskierowaną

wzór Greena

2 zadania na zastosowanie wzoru Greena

wykazywanie twierdzenia Greena (sposób i rozpisanie obszarów całkowania)

warunek na niezależność całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania

2 zadania na niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania

Lekcja 4: Całki powierzchniowe.

podział całek powierzchniowych na zorientowane i niezorientowane

całki powierzchniowe niezorientowane, przejście na całkę podwójną

interpretacje fizyczne całki powierzchniowej niezorientowanej

5 zadań na całki powierzchniowe niezorientowane, lub ich interpretacje fizyczne

całka powierzchniowa, przejście na całkę podwójną lub potrójną (twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego)

5 zadań na całki powierzchniowe zorientowane i ich interpretacje fizyczne

Lekcja 5: Elementy teorii pola.

wprowadzenie pojęcia pola wektorowego

pojęcia gradientu i potencjału

4 zadania na znajdywanie gradientu lub potencjału

zadanie na wykazanie równości z gradientami

pojęcie dywergencji

2 zadania na dywergencję

zadanie na wykazanie równości z dywergencją i gradientem

pojęcie rotacji pola wektorowego

2 zadania na rotację

zadanie na wykazanie równości z rotacją i dywergencją

ZOBACZ KURS: Kurs Całki Wielokrotne eTrapez

Kurs Prawdopodobieństwo eTrapez

Kurs Prawdopodobieństwo eTrapez

Na KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWA składa się następujący materiał:

wzory na prawdopodobieństwo

Lekcja 1: Elementy kombinatoryki

wprowadzenie do kombinatoryki

24 przykłady z kombinatoryki (z permutacjami, wariacjami, kombinacjami - z powtórzeniami i bez powtórzeń)

Lekcja 2: „Klasyczna” definicja prawdopodobieństwa

definicja klasyczna prawdopodobieństwa - 8 przykładów

definicja geometryczna prawdopodobieństwa - 2 przykłady

Lekcja 3: Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne.

definicja Kołmogorowa

własności prawdopodobieństwa wraz z ich dowodami

5 przykładów na prawdopodobieństwa rozumiane jako zbiory

wyprowadzenie wzoru na sumę trzech zdarzeń

9 przykładów na prawdopodobieństwo warunkowe

niezależność parami i zespołowa

9 przykładów na prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych

Lekcja 4: Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego.

wzory na prawdopodobieństwo całkowite i Bayesa - omówienie

związek wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i drzewa stochastycznego

10 przykładów na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

schemat Bernoulliego - omówienie

6 przykładów na schemat Bernoulliego

Lekcja 5: Zmienne losowe dyskretne („skokowe”)

zmienne losowe - definicja, omówienie

różnica pomiędzy zmiennymi losowymi dyskretnymi (skokowymi) a ciągłymi

parametry funkcyjne zmiennych losowych dyskretnych: rozkład i dystrybuanta

3 przykłady na rozkład i dystrybuantę

parametry liczbowe zmiennych losowych dyskretnych: wartość oczekiwana, mediana, dominanta (moda), kwantyl, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, momenty zwykłe i centralne, współczynnik asymetrii, współczynnik koncentracji

4 przykłady na badanie dyskretnej zmiennej losowej

rozkład Bernoulliego jako przykład rozkładu dyskretnego - 3 przykłady

2 przykłady na rozkład Poissona

przykład na rozkład hipergeometryczny

Lekcja 6: Zmienne losowe ciągłe

funkcja gęstości prawdopodobieństwa i jej wykres

dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej

parametry liczbowe zmiennych losowych ciągłych: wartość oczekiwana, mediana, dominanta (moda), kwantyl, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności, momenty zwykłe i centralne, współczynnik asymetrii, współczynnik koncentracji

3 przykłady na badanie ciągłej zmiennej losowej

rozkład normalny - wprowadzenie

sposób korzystania z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego

standaryzacja rozkładu normalnego

3 przykłady na rozkład normalny

przykład na rozkład jednostajny

przykład na rozkład wykładniczy

Lekcja 7: Dwuwymiarowe zmienne losowe

wprowadzenie do dwuwymiarowych zmiennych losowych

charakterystki dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej (rozkład, rozkłady brzegowe i warunkowe, wartości oczekiwane, wariancje, kowariencja, współczynnik korelacji)

niezależność zmiennych losowych

2 przykłady na badanie dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej

charakterystki dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej (funkcja gęstości, rozkłady brzegowe i warunkowe, wartości oczekiwane, wariancje, kowariencja, współczynnik korelacji)

2 przykłady na badanie dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej

ZOBACZ Kurs Prawdopodobieństwo eTrapez 

Kurs Równania Różniczkowe eTrapez

Kurs Równania Różniczkowe eTrapez

Kurs Równań Różniczkowych jest multimedialnym kursem edukacyjnym, który można ściągnąć z Internetu.

Składa się z 7 filmów, o łącznej długości ponad 8 godzin, na których tłumaczę i pokazuję jak rozwiązywać zadania z zakresu macierzy (szczegółowy zakres materiału poniżej).

Do nagrań dołączonych jest 67 pytań testowych sprawdzających wiedzę, kilkaset przykładów do rozwiązania, a także wzory i schematy potrzebne do rozwiązywania równań różniczkowych, przygotowane do wydrukowania.

Pojedyncza Lekcja składa się z:

Prezentacji video

Zadania domowego (części testowej i zadań)

Rozwiązania zadania domowego

Kartek z wzorami potrzebnymi do Lekcji

W tym Kursie dzielę się wiedzą zgromadzoną przez 8 lat intensywnego nauczania równań różniczkowych studentów różnych uczelni. Dowiesz się z niego między innymi:

co właściwie i konkretnie trzeba zrobić, żeby rozdzielić zmienne w równaniach o zmiennych rozdzielonych

na co trzeba bardzo uważać przy podstawieniach sprowadzających do równania o zmiennych rozdzielonych

jaki jest prosty schemat metody uzmienniania stałej

dlaczego wyznaczanie rozwiązania szczególnego z warunków początkowych to tylko mały dodatek do całego zadania

dlaczego w równaniach różniczkowych C dodać C daje C

jak nie pomylić równania z rozwiązaniem i jak zrobić sprawdzenie

…i wielu, wielu innych praktycznych, wypróbowanych “sztuczek”, które oprócz solidnej, ponad 8-godzinnej elementarnej porcji wiedzy pozwolą Tobie zadziwić może nawet samego siebie na kolokwium, czy egzaminie z macierzy.

Na KURS RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH składa się następujący materiał:

tabelka podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych

wzory na pochodne

wzory na całki nieoznaczone

typy równań różniczkowych I rzędu

typy równań różniczkowych II rzędu

tablice transformat Laplace’a

Lekcja 1: Równania o zmiennych rozdzielonych.

wprowadzenie pojęć równania różniczkowego I rzędu, rozwiązania (całki) równania, rozwiązania ogólnego i szczególnego

wprowadzenie metody rozdzielania zmiennych

6 przykładów na równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych (w tym przykłady z warunkami początkowymi)

przykład na zastosowanie równania różniczkowego w fizyce

Lekcja 2: Równania różniczkowe sprowadzalne do zmiennych rozdzielonych przez podstawienie.

równania typu y’=f(ax+by+c) – podstawienie i sposób postępowania

4 przykłady na równania typu y’=f(ax+by+c)

równania typu y’=f(y/x) (jednorodne względem y i x) – podstawienie i sposób postępowania

2 przykłady na równania typu y’=f(y/x)

4 sposoby sprowadzenia równania do równania typu y’=f(y/x)

trzeci typ równań sprowadzalnych do zmiennych rozdzielonych – omówienie dwóch przypadków

2 przykłady na trzeci typ równań sprowadzalnych do zmiennych rozdzielonych

Lekcja 3: Równania liniowe I-go rzędu

schemat rozwiązywania równań liniowych I-go rzędu – metoda uzmienniania stałej

6 przykładów na równania liniowe I-go rzędu

Lekcja 4: Niektóre równania nieliniowe rzędu pierwszego. Równanie różniczkowe rodziny linii.

równanie różniczkowe Bernoulliego – podstawienie i sposób rozwiązywania

3 przykłady na równanie różniczkowe Bernoulliego

równanie różniczkowe Riccatiego – podstawienie i sposób rozwiązywania

1 przykład na równanie różniczkowe Riccatiego

równanie różniczkowe Clairauta – sposób rozwiązywania

2 przykłady na równanie różniczkowe Clairauta

równanie różniczkowe zupełne – metoda rozpoznawania

2 przykłady na równanie różniczkowe zupełne

metoda sprowadzania równania do równania różniczkowego zupełnego (czynnik całkujący), 2 typy czynników całkujących

2 przykłady na czynnik całkujący

wprowadzenie pojęcia równania rodziny linii i równania różniczkowego rodziny linii

1 przykład na wyznaczanie równania różniczkowego rodziny linii

wprowadzenie pojęcia trajektorii ortogonalnych rodziny linii

1 przykład na wyznaczanie równania rodziny krzywych ortogonalnych

Lekcja 5: Równania różniczkowe II rzędu: Liniowe o stałych współczynnikach, sprowadzalne do równań I-go rzędu.

rozpoznawanie równań różniczkowych liniowych II rzędu, wprowadzenie do metody przewidywań, sposób rozwiązywania równania jednorodnego i wyznaczania rozwiązania przewidywanego

12 przykładów na metodę przewidywań

metoda uzmienniania stałych

2 przykłady na metodę uzmienniania stałych

3 przykłady na sprowadzenie równania II rzędu do równania I rzędu

Lekcja 6: Układy dwóch równań różniczkowych rzędu pierwszego

5 przykładów na układy dwóch równań różniczkowych rzędu pierwszego

Lekcja 7: Transformata Laplace’a

wprowadzenie do transformaty Laplace’a

tablica transformat Laplace’a

własności transformaty Laplace’a

4 przykłady na zastosowanie transformaty Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych różnych rzędów

ZOBACZ>>> Kurs Równania Różniczkowe eTrapez 

Kurs Macierzy jest multimedialnym kursem edukacyjnym, podzielonym na 7 Lekcji. Kurs zawiera łącznie około 260 minut nagrań video, na których tłumaczę i pokazuję jak rozwiązywać zadania z zakresu macierzy (szczegółowy zakres materiału poniżej).

Do nagrań dołączonych jest 70 pytań testowych sprawdzających wiedzę, około 100 zadań praktycznych.

Pojedyncza Lekcja składa się z:

• Prezentacji video

• Zadania domowego (części testowej i zadań)

• Rozwiązania zadania domowego

Z Kursu Macierzy dowiesz się między innymi:

• jaki jest największe zagrożenie podczas obliczania macierzy i jak sobie z nim poradzić

• jak wygodnie rozpisywać operacje takie jak mnożenie macierzy, bez konieczności wykonywania wielu operacji w pamięci

• jak “wyzerować” odpowiedni wiersz, lub kolumnę, co radykalnie skraca i upraszcza np. obliczanie wyznaczników rzędów wyższych od 3

• jak szybko policzyć macierz odwrotną, zapisując dopełnienia algebraiczne od razu w macierzy wynikowej

• jak bezproblemowo obliczać nawet złożone równania macierzowe – przez analogię ze znanymi już Ci dobrze z podstawówki równaniami na liczbach

• dlaczego obliczanie rzędów macierzy przez “zerowanie” wiersza lub kolumny ma wielką przewagę nad uciążliwym szukaniem proporcjonalnych wierszy i kolumn

• co mają wspólnego macierze i wektory i co to właściwie daje

• dlaczego metoda Gaussa jest najlepszą metodą obliczania układów równań liniowych

…i wielu, wielu innych praktycznych, wypróbowanych “sztuczek”, które oprócz solidnej, ponad 4-godzinnej elementarnej porcji wiedzy pozwolą Tobie zadziwić może nawet samego siebie na kolokwium, czy egzaminie z macierzy.

Na KURS MACIERZY składa się następujący materiał:

Lekcja 1: Wprowadzenie do macierzy. Podstawowe działania na macierzach.

• pojęcie macierzy i podstawowych terminów związanych z macierzą (wiersz, kolumna, wymiar)

• dodawanie macierzy

• odejmowanie macierzy

• mnożenie macierzy przez liczbę

• mnożenie macierzy przez macierz

• transponowanie macierzy

• podnoszenie macierzy do potęgi

Lekcja 2: Wyznaczniki macierzy

• pojęcie wyznacznika

• stopień wyznacznika

• wykonalność obliczania wyznacznika

• liczenie wyznacznika stopnia 1

• liczenie wyznacznika stopnia 2

• liczenie wyznacznika stopnia 3

• metoda liczenia wyznaczników stopnia 4 i większych (rozwinięcie Laplace’a)

• liczenie wyznacznika stopnia 4

• liczenie wyznacznika stopnia 5

Lekcja 3: Macierze odwrotne

• definicja macierzy odwrotnej

• macierz jednostkowa

• wykonalność obliczania macierzy odwrotnej

• obliczanie macierzy odwrotnej z macierzy 1 stopnia

• wzór na macierz odwrotną

• obliczanie macierzy odwrotnej z macierzy 2 stopnia (ze wzoru)

• obliczanie macierzy odwrotnej z macierzy 3 stopnia (ze wzoru)

Lekcja 4: Równania macierzowe

• pojęcie równania macierzowego

• rozwiązanie siedmiu przykładowych, najbardziej typowych równań macierzowych

metodą obustronnego mnożenia przez macierz odwrotną

Lekcja 5: Rząd macierzy. Liniowa niezależność wektorów.

• definicja wektora (wektor jako macierz)

• definicja liniowej niezależności wektorów

• definicja rzędu macierzy (jako liczby liniowo niezależnych wierszy/kolumn)

• reguły obliczania rzędu macierzy, kilka przykładów

• sprawdzanie liniowej niezależności wektorów

Lekcja 6: Układy równań liniowych Cramera

• pojęcie układu równań liniowych

• definicja układu równań liniowych Cramera

• warunki stosowalności metody Cramera

• metoda Cramera na przykładach

Lekcja 7: Układy równań liniowych (metoda Gaussa)

• warunki stosowalności metody Gaussa (jej uniwersalność)

• pojęcie macierzy schodkowej

• 7 przykładów zastosowań metody Gaussa w układach oznaczonych (z 1 rozwiązaniem),

nieoznaczonych (nieskończenie wiele rozwiązań), sprzecznych (brak rozwiązań)

KURS MACIERZY>>>

John Allen Paulos - Analfabetyzm matematyczny i jego skutki

Nowoczesny, cyfrowy format e-podręcznika zapewnia łatwy, szybki i wygodny dostęp do jej treści. E-podręcznik jest publikacją w formacie pliku PDF. Do korzystania z e-podręcznika niezbędny jest bezpłatny program Acrobat Reader oraz specjalny dodatek Fileopen. Oprogramowanie możesz pobrać bezpośrednio po dokonaniu zakupu.

Ta książka przez wiele miesięcy utrzymywała się na listach bestsellerów w USA.

Brak swobody w posługiwaniu się liczbami dotyczy dużej części ludzi, nawet tych wykształconych. Autor książki opisuje społeczność współczesnych matematycznych analfabetów, dowcipnie, acz z wyrozumiałością analizując popełniane przez nich błędy. Pokazuje sytuacje, w których z powodu nieznajomości matematyki ulegamy manipulacji i podejmujemy błędne decyzje. Wyjaśnia też, jak radzić sobie z niepokornymi liczbami w życiu codziennym. Lekkie pióro i bogaty zakres informacji sprawia że książkę czyta się niemal jednym tchem, przy okazji pogłębiając własną wiedzę

Fragment publikacji:

Przykłady i zasady

Podczas przejażdżki konnej arystokrata proponuje swojemu towarzyszowi pojedynek: kto wymyśli większą liczbę. Towarzysz przyjmuje wyzwanie i po kilkuminutowym namyśle ogłasza z dumą: „Trzy”. Pomysłodawca milczy poł godziny, po czym wzrusza ramionami i poddaje się.

Do sklepu w stanie Maine wchodzi turysta i kupuje wiele drogich artykułów. Sceptyczny i niezbyt rozmowny sklepikarz milcząco wstukuje do kasy kolejne kwoty z rachunku. Następnie bez słowa wskazuje kupującemu ostateczną sumę i patrzy, jak ten odlicza 1 528 dolarów i 47 centów. Później skrupulatnie przelicza pieniądze — raz, drugi i trzeci. Kupujący pyta w końcu, czy dał właściwą kwotę, na co słyszy niechętną odpowiedź: „W zasadzie tak”.

Matematyk Godfrey H. Hardy odwiedził w szpitalu swojego protegowanego, młodego hinduskiego matematyka Ramanujana. Aby zagaić rozmowę, zauważył, że numer taksówki, którą przyjechał — 1729 — nie jest specjalnie ciekawą liczbą.

Na to Ramanujan natychmiast odpowiedział: „Nic podobnego, drogi Hardy! Absolutnie nie! To bardzo interesująca liczba. Jest to najmniejsza liczba, jaką można przedstawić na dwa rożne sposoby jako sumę sześcianów dwóch innych liczb”.

Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa Nasza umiejętność posługiwania się liczbami mieści się gdzieś między skrajnymi przypadkami arystokraty i Ramanujana.

Niestety, większość z nas znajduje się raczej „po arystokratycznej stronie” sklepikarza z Maine. Zdumiewa mnie zawsze, a jednocześnie przygnębia, gdy trafiam na studentów nie mających pojęcia, ilu mieszkańców liczą Stany Zjednoczone, jaka jest przybliżona odległość między wschodnim a zachodnim

wybrzeżem lub jaki z grubsza procent ludności świata stanowią Chińczycy. Czasami proszę ich o oszacowanie, jak szybko, w kilometrach na godzinę, rosną ludzkie włosy, ilu ludzi umiera codziennie na świecie albo ile papierosów rocznie jest wypalanych w naszym kraju. Mimo początkowych oporów, jakie te ćwiczenia wywołują u studentów (jeden z nich upierał się, że włosy wcale nie rosną w kilometrach na godzinę), polepszają one, i to znacznie, intuicję dotyczącą liczb.

Bez umiejętności właściwej oceny dużych liczb nie można traktować z należytym sceptycyzmem przerażających doniesień o milionach amerykańskich dzieci uprowadzanych corocznie przez kidnaperów ani też reagować z należytą powagą na informację o głowicy przenoszącej ładunek wybuchowy o mocy

megatony — równowartości miliona kilogramów trotylu.

Jeżeli natomiast brak nam wyczucia stopnia prawdopodobieństwa, możemy bagatelizować ryzyko wypadku samochodowego w czasie podroży po kraju, a podczas wypraw za granicę główne zagrożenie upatrywać w zamachach terrorystycznych.

Tymczasem na amerykańskich drogach co roku ginie około 45 tysięcy osób — tyle samo, ile wynosi liczba wszystkich amerykańskich ofiar wojny w Wietnamie. Z drugiej strony, tylko siedemnastu spośród 28 milionów Amerykanów, którzy wyjeżdżali za granicę w 1985 roku, zginęło z rąk terrorystów, co daje ryzyko zostania ofiarą jak jeden do 1,6 miliona. Porównajmy to z następującymi rocznymi wskaźnikami dotyczącymi Stanów Zjednoczonych: śmierć w wypadku rowerowym — ryzyko jak jeden do 75 tysięcy, śmiertelne udławienie się — jeden do 68 tysięcy, utonięcie — jeden do 20 tysięcy, i wreszcie śmierć w wypadku samochodowym — jeden do zaledwie 5 300.

Postawiony w obliczu tak dużych liczb i odpowiadających im małych prawdopodobieństw, analfabeta matematyczny niechybnie odpowie: „No tak, ale przecież to właśnie ja mogę być jedną z ofiar” — i pokiwa z politowaniem głową, dając do zrozumienia, że to głębokie spostrzeżenie „załatwia” wszystkie

argumenty. Taka personalizacja, którą rozumiem jako skłonność do odnoszenia wszystkiego do siebie jest — jak się przekonamy — cechą wielu osób cierpiących na analfabetyzm. Równie typowa jest tendencja do zrównywania ryzyka zapadnięcia na jakąś egzotyczną chorobę z prawdopodobieństwem, że zachorujemy na jedną z chorób serca lub układu krążenia, na które co tydzień umiera około 12 tysięcy Amerykanów.

W tym miejscu przytoczę mój ulubiony dowcip. Wieloletnie małżeństwo — oboje po dziewięćdziesiątce — występuje o rozwód. Prawnik stara się odwieść ich od tego zamiaru: „Po co rozwodzić się po siedemdziesięciu latach małżeństwa? Dlaczego

nie dotrwacie do końca? I dlaczego właśnie teraz?!” Na co starsza pani wyjaśnia piskliwym głosem: „To ze względu na dzieci. Woleliśmy poczekać, aż umrą”.

Do zrozumienia tego dowcipu potrzeba wyczucia, w jakim zakresie, zależnie od kontekstu, mogą się zmieniać rożne wielkości oraz czas. Mylenie milionów z miliardami czy miliardów z bilionami powinno być równie śmieszne, ale nie jest, bo zbyt często nie mamy żadnego wyczucia co do dużych liczb. Wiele wykształconych osób nie radzi sobie z nimi, a nawet nie kojarzy, że milion to 1 000 000, miliard to 1 000 000 000, a bilion to 1 000 000 000 000.

Doktorzy Kronlund i Phillips z Uniwersytetu Waszyngtońskiego w swoim niedawnym raporcie zwracają uwagę, że przeprowadzane przez lekarzy oceny ryzyka operacji, sposobów leczenia, zażywania lekarstw itp. są na ogół bardzo odległe od prawdy. Rozmawiałem kiedyś z lekarzem, który w ciągu około dwudziestu minut wyraził się o planowanym zabiegu, iż:

a) wiąże się z ryzykiem jak jeden do miliona,

b) jest w 99 procentach bezpieczny,

c) zazwyczaj przebiega bez komplikacji.

Biorąc pod uwagę, iż wielu lekarzy zdaje się sądzić, że dopiero jedenastoosobowa kolejka w poczekalni zapewnia im nieprzerwaną pracę, nie byłem zaskoczony nowym świadectwem ich matematycznej ignorancji.

Dla bardzo dużych lub bardzo małych liczb często czytelniejsza i łatwiejsza w użyciu od zwykłego zapisu jest tak zwana postać wykładnicza, i dlatego będę ją czasami stosował.

Nie ma w niej nic niezwykłego: 10N to 1 z N zerami, zatem 104 to 10 000, a 109 to miliard. Z kolei 10−N to 1 podzielone przez 10N, a więc 10−4 to 1 podzielone przez 10 000 albo 0,0001, a 10−2 to jedna setna.

Odpowiedzi na postawione wcześniej pytania wyglądają w zapisie wykładniczym następująco: ludzkie włosy przyrastają z prędkością mniej więcej 10−7 kilometra na godzinę; codziennie na świecie umiera około 2,5 ・ 105 osób; rocznie w USA jest wypalanych w przybliżeniu 5・1011 papierosów. W zwykłym zapisie liczby te wyglądają tak: 0,0000001 kilometra na godzinę, 250 000 ludzi i 500 000 000 000 papierosów.

Decyzje i formułowanie pytań

Judy ma trzydzieści trzy lata, jest niezamężna i pewna siebie.

Skończyła z wyróżnieniem nauki polityczne. Była głęboko zaangażowana w sprawy społeczne, w szczególności w zagadnienia dyskryminacji i w ruch antynuklearny. Które z poniższych stwierdzeń jest bardziej prawdopodobne?

(a) Judy pracuje w banku.

(b) Judy pracuje w banku i jest aktywistką ruchu feministycznego.

Odpowiedź może być dla niektórych zaskakująca: (a) jest bardziej prawdopodobne niż (b), bo pojedyncze stwierdzenie jest zawsze bardziej prawdopodobne niż koniunkcja dwóch stwierdzeń. Jest większa szansa, że rzucając monetą dostanę orła, niż że rzucając monetą i kostką dostanę orła i szóstkę.

Jeżeli nie mamy bezpośredniego świadectwa albo teoretycznego uzasadnienia dla jakiejś wersji wypadków, to powinniśmy wziąć pod uwagę, że liczba szczegółów i ich barwność są odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa: im barwniejsze szczegóły, tym mniejsza szansa, że dana wersja jest prawdziwa.

Wracając do Judy, działający tu mechanizm psychologiczny może być następujący: wstępny opis powoduje pomylenie koniunkcji (b) („Pracuje w banku i jest feministką”) ze stwierdzeniem warunkowym („O ile pracuje w banku, to zapewne jest też feministką”), a to ostatnie stwierdzenie wydaje się bardziej prawdopodobne niż (a). Ale oczywiście (b) mówi coś innego.

Psychologowie Tversky i Kahneman przypisują atrakcyjność odpowiedzi (b) sposobowi, w jaki oceniamy prawdopodobieństwo zdarzeń w sytuacjach codziennych. Otóż na ogół nie analizujemy wszystkich możliwości stwarzanych przez daną sytuację, by następnie policzyć te, które spełniają interesujące nas warunki; tworzymy natomiast myślowe modele sytuacji — w naszym wypadku kogoś takiego jak Judy — i wyciągamy wnioski na podstawie porównań z tymi modelami. W ten sposób wielu ludziom może się wydawać, że odpowiedź (b) jest bliższa komuś z przeszłością Judy niż odpowiedź (a).

Wiele z cytowanych w tej książce, niezgodnych z intuicją rezultatów to psychologiczne sztuczki podobne do powyższej; mogą one spowodować chwilowy analfabetyzm nawet u osób wykształconych matematycznie. W swojej fascynującej książce Osąd w warunkach niepewności Tversky i Kahneman opisują inny rodzaj pozornie nieuzasadnionej ignorancji matematycznej, charakteryzujący wiele naszych ważnych decyzji. Zadawali oni badanym osobom następujące pytanie: Wyobraź sobie, że jesteś generałem okrążonym przez przeważające siły wroga, które zmiotą z powierzchni ziemi twój 600-osobowy oddział, jeśli nie zdecydujesz się na jedną z dwóch możliwych dróg odwrotu.

Twój oficer wywiadu donosi, że jeśli wybierzesz pierwszą drogę, uratujesz 200 żołnierzy, jeśli zaś zdecydujesz się na drugą, to szansa uratowania wszystkich wynosi 1 3, a ryzyko, że wszyscy zginą — 2

3 . Którą drogę wybierzesz?

Większość badanych (trzech na czterech) wybiera pierwszą drogę, ponieważ w ten sposób można na pewno uratować 200 żołnierzy, podczas gdy druga droga może z prawdopodobieństwem 3 spowodować nawet większą liczbę ofiar.

Teraz pada drugie pytanie: Znowu jesteś generałem, który ma wybrać jedną z dwóch dróg odwrotu. Jeżeli wybierzesz pierwszą, zginie 400 z 600 twoich żołnierzy; jeśli drugą, to z prawdopodobieństwem 1 3 wszyscy wyjdą cało, a z prawdopodobieństwem 2 3 — wszyscy zginą. Którą drogę wybierzesz tym razem?

Większość badanych (czterech z pięciu) w obliczu takiej decyzji wybiera drugą drogę, rozumując, że pierwsza prowadzi do 400 ofiar, podczas gdy w wypadku drugiej jest pewna szansa, równa 1 3 , że wszyscy ocaleją.

Obydwa pytania są oczywiście identyczne, a różnice w częstości odpowiedzi wynikają ze sposobu sformułowania pytań:

w kategoriach istnień ludzkich do uratowania czy też istnień skazanych na śmierć.

Oto inny przykład z książki Tversky’ego i Kahnemana:

Wybierz pomiędzy pewnością otrzymania kwoty 30 000 dolarów

a 80-procentową szansą wygrania 40 000 dolarów, która jest połączona z 20-procentowym ryzykiem niewygrania niczego.

Większość osób zdecyduje się na trzydzieści tysięcy, chociaż wartość oczekiwana wygranej przy drugim wyborze wynosi 32 000 (= 40 000 ・0,8) dolarów. A co zrobić, jeśli mamy do wyboru pewną stratę 30 000 dolarów albo 80-procentowe ryzyko straty 40 000, połączone z 20-procentową szansą, że nie stracimy nic? Teraz większość wybierze ryzyko stracenia 40 000 dolarów, aby mieć szansę uniknięcia jakiejkolwiek straty, chociaż wartość oczekiwana straty w drugim przypadku wynosi 32 000 (= 40 000 ・ 0,8) dolarów. Tversky i Kahneman wyciągają stąd wniosek, że staramy się unikać ryzyka, kiedy planujemy zyski, ale wybieramy ryzyko, aby uniknąć strat.

Nie musimy oczywiście uciekać się do tak wyrafinowanych przykładów, aby zdać sobie sprawę, iż sposób sformułowania pytania czy stwierdzenia ma istotny wpływ na nasze reakcje. Przeciętny podatnik, agitowany na rzecz 6-procentowej podwyżki opłat za usługi komunalne, prawdopodobnie da się przekonać. Zapytany jednak o zdanie na temat podwyższenia łącznej kwoty rachunków za te usługi w całym kraju o 91 milionów dolarów, będzie zapewne przeciw. Powiedzenie, że wyniki danego ucznia plasują go w środkowej jednej trzeciej klasy, wywiera lepsze wrażenie od stwierdzenia, że mieści się on w trzydziestym trzecim centylu (jest lepszy od 33% swoich kolegów i koleżanek z klasy).

TUTAJ znajdziesz całą publikację>>>