Nowoczesny, cyfrowy format e-podręcznika zapewnia łatwy, szybki i wygodny dostęp do jej treści. E-podręcznik jest publikacją w formacie pliku PDF. Do korzystania z e-podręcznika niezbędny jest bezpłatny program Acrobat Reader oraz specjalny dodatek Fileopen. Oprogramowanie możesz pobrać bezpośrednio po dokonaniu zakupu.
Ta książka przez wiele miesięcy utrzymywała się na listach bestsellerów w USA.
Brak swobody w posługiwaniu się liczbami dotyczy dużej części ludzi, nawet tych wykształconych. Autor książki opisuje społeczność współczesnych matematycznych analfabetów, dowcipnie, acz z wyrozumiałością analizując popełniane przez nich błędy. Pokazuje sytuacje, w których z powodu nieznajomości matematyki ulegamy manipulacji i podejmujemy błędne decyzje. Wyjaśnia też, jak radzić sobie z niepokornymi liczbami w życiu codziennym. Lekkie pióro i bogaty zakres informacji sprawia że książkę czyta się niemal jednym tchem, przy okazji pogłębiając własną wiedzę
Przykłady i zasady
Podczas przejażdżki konnej arystokrata proponuje swojemu towarzyszowi pojedynek: kto wymyśli większą liczbę. Towarzysz przyjmuje wyzwanie i po kilkuminutowym namyśle ogłasza z dumą: „Trzy”. Pomysłodawca milczy poł godziny, po czym wzrusza ramionami i poddaje się.
Do sklepu w stanie Maine wchodzi turysta i kupuje wiele drogich artykułów. Sceptyczny i niezbyt rozmowny sklepikarz milcząco wstukuje do kasy kolejne kwoty z rachunku. Następnie bez słowa wskazuje kupującemu ostateczną sumę i patrzy, jak ten odlicza 1 528 dolarów i 47 centów. Później skrupulatnie przelicza pieniądze — raz, drugi i trzeci. Kupujący pyta w końcu, czy dał właściwą kwotę, na co słyszy niechętną odpowiedź: „W zasadzie tak”.
Matematyk Godfrey H. Hardy odwiedził w szpitalu swojego protegowanego, młodego hinduskiego matematyka Ramanujana. Aby zagaić rozmowę, zauważył, że numer taksówki, którą przyjechał — 1729 — nie jest specjalnie ciekawą liczbą.
Na to Ramanujan natychmiast odpowiedział: „Nic podobnego, drogi Hardy! Absolutnie nie! To bardzo interesująca liczba. Jest to najmniejsza liczba, jaką można przedstawić na dwa rożne sposoby jako sumę sześcianów dwóch innych liczb”.
Wielkie liczby, małe prawdopodobieństwa Nasza umiejętność posługiwania się liczbami mieści się gdzieś między skrajnymi przypadkami arystokraty i Ramanujana.
Niestety, większość z nas znajduje się raczej „po arystokratycznej stronie” sklepikarza z Maine. Zdumiewa mnie zawsze, a jednocześnie przygnębia, gdy trafiam na studentów nie mających pojęcia, ilu mieszkańców liczą Stany Zjednoczone, jaka jest przybliżona odległość między wschodnim a zachodnim
wybrzeżem lub jaki z grubsza procent ludności świata stanowią Chińczycy. Czasami proszę ich o oszacowanie, jak szybko, w kilometrach na godzinę, rosną ludzkie włosy, ilu ludzi umiera codziennie na świecie albo ile papierosów rocznie jest wypalanych w naszym kraju. Mimo początkowych oporów, jakie te ćwiczenia wywołują u studentów (jeden z nich upierał się, że włosy wcale nie rosną w kilometrach na godzinę), polepszają one, i to znacznie, intuicję dotyczącą liczb.
Bez umiejętności właściwej oceny dużych liczb nie można traktować z należytym sceptycyzmem przerażających doniesień o milionach amerykańskich dzieci uprowadzanych corocznie przez kidnaperów ani też reagować z należytą powagą na informację o głowicy przenoszącej ładunek wybuchowy o mocy
megatony — równowartości miliona kilogramów trotylu.
Jeżeli natomiast brak nam wyczucia stopnia prawdopodobieństwa, możemy bagatelizować ryzyko wypadku samochodowego w czasie podroży po kraju, a podczas wypraw za granicę główne zagrożenie upatrywać w zamachach terrorystycznych.
Tymczasem na amerykańskich drogach co roku ginie około 45 tysięcy osób — tyle samo, ile wynosi liczba wszystkich amerykańskich ofiar wojny w Wietnamie. Z drugiej strony, tylko siedemnastu spośród 28 milionów Amerykanów, którzy wyjeżdżali za granicę w 1985 roku, zginęło z rąk terrorystów, co daje ryzyko zostania ofiarą jak jeden do 1,6 miliona. Porównajmy to z następującymi rocznymi wskaźnikami dotyczącymi Stanów Zjednoczonych: śmierć w wypadku rowerowym — ryzyko jak jeden do 75 tysięcy, śmiertelne udławienie się — jeden do 68 tysięcy, utonięcie — jeden do 20 tysięcy, i wreszcie śmierć w wypadku samochodowym — jeden do zaledwie 5 300.
Postawiony w obliczu tak dużych liczb i odpowiadających im małych prawdopodobieństw, analfabeta matematyczny niechybnie odpowie: „No tak, ale przecież to właśnie ja mogę być jedną z ofiar” — i pokiwa z politowaniem głową, dając do zrozumienia, że to głębokie spostrzeżenie „załatwia” wszystkie
argumenty. Taka personalizacja, którą rozumiem jako skłonność do odnoszenia wszystkiego do siebie jest — jak się przekonamy — cechą wielu osób cierpiących na analfabetyzm. Równie typowa jest tendencja do zrównywania ryzyka zapadnięcia na jakąś egzotyczną chorobę z prawdopodobieństwem, że zachorujemy na jedną z chorób serca lub układu krążenia, na które co tydzień umiera około 12 tysięcy Amerykanów.
W tym miejscu przytoczę mój ulubiony dowcip. Wieloletnie małżeństwo — oboje po dziewięćdziesiątce — występuje o rozwód. Prawnik stara się odwieść ich od tego zamiaru: „Po co rozwodzić się po siedemdziesięciu latach małżeństwa? Dlaczego
nie dotrwacie do końca? I dlaczego właśnie teraz?!” Na co starsza pani wyjaśnia piskliwym głosem: „To ze względu na dzieci. Woleliśmy poczekać, aż umrą”.
Do zrozumienia tego dowcipu potrzeba wyczucia, w jakim zakresie, zależnie od kontekstu, mogą się zmieniać rożne wielkości oraz czas. Mylenie milionów z miliardami czy miliardów z bilionami powinno być równie śmieszne, ale nie jest, bo zbyt często nie mamy żadnego wyczucia co do dużych liczb. Wiele wykształconych osób nie radzi sobie z nimi, a nawet nie kojarzy, że milion to 1 000 000, miliard to 1 000 000 000, a bilion to 1 000 000 000 000.
Doktorzy Kronlund i Phillips z Uniwersytetu Waszyngtońskiego w swoim niedawnym raporcie zwracają uwagę, że przeprowadzane przez lekarzy oceny ryzyka operacji, sposobów leczenia, zażywania lekarstw itp. są na ogół bardzo odległe od prawdy. Rozmawiałem kiedyś z lekarzem, który w ciągu około dwudziestu minut wyraził się o planowanym zabiegu, iż:
a) wiąże się z ryzykiem jak jeden do miliona,
b) jest w 99 procentach bezpieczny,
c) zazwyczaj przebiega bez komplikacji.
Biorąc pod uwagę, iż wielu lekarzy zdaje się sądzić, że dopiero jedenastoosobowa kolejka w poczekalni zapewnia im nieprzerwaną pracę, nie byłem zaskoczony nowym świadectwem ich matematycznej ignorancji.
Dla bardzo dużych lub bardzo małych liczb często czytelniejsza i łatwiejsza w użyciu od zwykłego zapisu jest tak zwana postać wykładnicza, i dlatego będę ją czasami stosował.
Nie ma w niej nic niezwykłego: 10N to 1 z N zerami, zatem 104 to 10 000, a 109 to miliard. Z kolei 10−N to 1 podzielone przez 10N, a więc 10−4 to 1 podzielone przez 10 000 albo 0,0001, a 10−2 to jedna setna.
Odpowiedzi na postawione wcześniej pytania wyglądają w zapisie wykładniczym następująco: ludzkie włosy przyrastają z prędkością mniej więcej 10−7 kilometra na godzinę; codziennie na świecie umiera około 2,5 ・ 105 osób; rocznie w USA jest wypalanych w przybliżeniu 5・1011 papierosów. W zwykłym zapisie liczby te wyglądają tak: 0,0000001 kilometra na godzinę, 250 000 ludzi i 500 000 000 000 papierosów.
Decyzje i formułowanie pytań
Judy ma trzydzieści trzy lata, jest niezamężna i pewna siebie.
Skończyła z wyróżnieniem nauki polityczne. Była głęboko zaangażowana w sprawy społeczne, w szczególności w zagadnienia dyskryminacji i w ruch antynuklearny. Które z poniższych stwierdzeń jest bardziej prawdopodobne?
(a) Judy pracuje w banku.
(b) Judy pracuje w banku i jest aktywistką ruchu feministycznego.
Odpowiedź może być dla niektórych zaskakująca: (a) jest bardziej prawdopodobne niż (b), bo pojedyncze stwierdzenie jest zawsze bardziej prawdopodobne niż koniunkcja dwóch stwierdzeń. Jest większa szansa, że rzucając monetą dostanę orła, niż że rzucając monetą i kostką dostanę orła i szóstkę.
Jeżeli nie mamy bezpośredniego świadectwa albo teoretycznego uzasadnienia dla jakiejś wersji wypadków, to powinniśmy wziąć pod uwagę, że liczba szczegółów i ich barwność są odwrotnie proporcjonalne do prawdopodobieństwa: im barwniejsze szczegóły, tym mniejsza szansa, że dana wersja jest prawdziwa.
Wracając do Judy, działający tu mechanizm psychologiczny może być następujący: wstępny opis powoduje pomylenie koniunkcji (b) („Pracuje w banku i jest feministką”) ze stwierdzeniem warunkowym („O ile pracuje w banku, to zapewne jest też feministką”), a to ostatnie stwierdzenie wydaje się bardziej prawdopodobne niż (a). Ale oczywiście (b) mówi coś innego.
Psychologowie Tversky i Kahneman przypisują atrakcyjność odpowiedzi (b) sposobowi, w jaki oceniamy prawdopodobieństwo zdarzeń w sytuacjach codziennych. Otóż na ogół nie analizujemy wszystkich możliwości stwarzanych przez daną sytuację, by następnie policzyć te, które spełniają interesujące nas warunki; tworzymy natomiast myślowe modele sytuacji — w naszym wypadku kogoś takiego jak Judy — i wyciągamy wnioski na podstawie porównań z tymi modelami. W ten sposób wielu ludziom może się wydawać, że odpowiedź (b) jest bliższa komuś z przeszłością Judy niż odpowiedź (a).
Wiele z cytowanych w tej książce, niezgodnych z intuicją rezultatów to psychologiczne sztuczki podobne do powyższej; mogą one spowodować chwilowy analfabetyzm nawet u osób wykształconych matematycznie. W swojej fascynującej książce Osąd w warunkach niepewności Tversky i Kahneman opisują inny rodzaj pozornie nieuzasadnionej ignorancji matematycznej, charakteryzujący wiele naszych ważnych decyzji. Zadawali oni badanym osobom następujące pytanie: Wyobraź sobie, że jesteś generałem okrążonym przez przeważające siły wroga, które zmiotą z powierzchni ziemi twój 600-osobowy oddział, jeśli nie zdecydujesz się na jedną z dwóch możliwych dróg odwrotu.
Twój oficer wywiadu donosi, że jeśli wybierzesz pierwszą drogę, uratujesz 200 żołnierzy, jeśli zaś zdecydujesz się na drugą, to szansa uratowania wszystkich wynosi 1 3, a ryzyko, że wszyscy zginą — 2
3 . Którą drogę wybierzesz?
Większość badanych (trzech na czterech) wybiera pierwszą drogę, ponieważ w ten sposób można na pewno uratować 200 żołnierzy, podczas gdy druga droga może z prawdopodobieństwem 3 spowodować nawet większą liczbę ofiar.
Teraz pada drugie pytanie: Znowu jesteś generałem, który ma wybrać jedną z dwóch dróg odwrotu. Jeżeli wybierzesz pierwszą, zginie 400 z 600 twoich żołnierzy; jeśli drugą, to z prawdopodobieństwem 1 3 wszyscy wyjdą cało, a z prawdopodobieństwem 2 3 — wszyscy zginą. Którą drogę wybierzesz tym razem?
Większość badanych (czterech z pięciu) w obliczu takiej decyzji wybiera drugą drogę, rozumując, że pierwsza prowadzi do 400 ofiar, podczas gdy w wypadku drugiej jest pewna szansa, równa 1 3 , że wszyscy ocaleją.
Obydwa pytania są oczywiście identyczne, a różnice w częstości odpowiedzi wynikają ze sposobu sformułowania pytań:
w kategoriach istnień ludzkich do uratowania czy też istnień skazanych na śmierć.
Oto inny przykład z książki Tversky’ego i Kahnemana:
Wybierz pomiędzy pewnością otrzymania kwoty 30 000 dolarów
a 80-procentową szansą wygrania 40 000 dolarów, która jest połączona z 20-procentowym ryzykiem niewygrania niczego.
Większość osób zdecyduje się na trzydzieści tysięcy, chociaż wartość oczekiwana wygranej przy drugim wyborze wynosi 32 000 (= 40 000 ・0,8) dolarów. A co zrobić, jeśli mamy do wyboru pewną stratę 30 000 dolarów albo 80-procentowe ryzyko straty 40 000, połączone z 20-procentową szansą, że nie stracimy nic? Teraz większość wybierze ryzyko stracenia 40 000 dolarów, aby mieć szansę uniknięcia jakiejkolwiek straty, chociaż wartość oczekiwana straty w drugim przypadku wynosi 32 000 (= 40 000 ・ 0,8) dolarów. Tversky i Kahneman wyciągają stąd wniosek, że staramy się unikać ryzyka, kiedy planujemy zyski, ale wybieramy ryzyko, aby uniknąć strat.
Nie musimy oczywiście uciekać się do tak wyrafinowanych przykładów, aby zdać sobie sprawę, iż sposób sformułowania pytania czy stwierdzenia ma istotny wpływ na nasze reakcje. Przeciętny podatnik, agitowany na rzecz 6-procentowej podwyżki opłat za usługi komunalne, prawdopodobnie da się przekonać. Zapytany jednak o zdanie na temat podwyższenia łącznej kwoty rachunków za te usługi w całym kraju o 91 milionów dolarów, będzie zapewne przeciw. Powiedzenie, że wyniki danego ucznia plasują go w środkowej jednej trzeciej klasy, wywiera lepsze wrażenie od stwierdzenia, że mieści się on w trzydziestym trzecim centylu (jest lepszy od 33% swoich kolegów i koleżanek z klasy).
